1. Números racionales e irracionales

Una fracción a/b representa a partes de b partes iguales. El numerador, arriba, indica cuántas partes tomas y el denominador, abajo, en cuántas partes iguales divides la unidad.

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad. Se obtienen multiplicando o dividiendo numerador y denominador por el mismo número. Para comprobarlo, multiplica en cruz: a/b y c/d son equivalentes si a · d = b · c.

Simplificar una fracción es dividir numerador y denominador entre su máximo común divisor. Cuando ya no se puede simplificar más, la fracción es irreducible.

Para comparar fracciones, reduce a común denominador usando el mínimo común múltiplo y compara los numeradores. Truco clave: simplifica antes de comparar u operar, así trabajarás con números más pequeños y cometerás menos errores.

Para sumar o restar fracciones, redúcelas a común denominador con el mínimo común múltiplo, suma o resta los numeradores, deja el mismo denominador y simplifica el resultado.

Para multiplicar, multiplica numeradores entre sí y denominadores entre sí. Para dividir, multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.

En las operaciones combinadas se respeta el orden: primero los paréntesis, después las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha y, al final, las sumas y restas.

Truco clave: simplifica en cruz antes de multiplicar y deja siempre el resultado final como fracción irreducible. Si el resultado es un número entero, escríbelo sin denominador.

Para pasar una fracción a decimal se divide el numerador entre el denominador. El decimal puede ser exacto, si termina; periódico puro, si el periodo se repite justo después de la coma; o periódico mixto, si entre la coma y el periodo hay cifras que no se repiten.

Sin hacer la división: una fracción irreducible da un decimal exacto cuando su denominador solo tiene los factores primos 2 y 5. Si no, da un decimal periódico.

Para pasar un decimal exacto a fracción, escribe el número sin coma como numerador y un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales como denominador, y simplifica. Ejemplo: 0,75 = 75/100 = 3/4.

Para un decimal periódico puro, el numerador es el número sin coma menos la parte entera, y el denominador lleva tantos nueves como cifras tiene el periodo. Ejemplo: 0,7272… = 72/99 = 8/11. Para uno mixto, el numerador es el número sin coma menos la parte que no se repite, y el denominador lleva tantos nueves como cifras tiene el periodo seguidos de tantos ceros como cifras hay antes del periodo. Ejemplo: 0,1666… = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6.

Los números naturales son los que usamos para contar: 1, 2, 3, y así sucesivamente. Los enteros añaden el cero y los negativos. Los racionales son todos los números que se pueden escribir como fracción de dos enteros, e incluyen los decimales exactos y los periódicos.

Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales que no se repiten con ningún periodo, y por eso no se pueden escribir como fracción. Ejemplos: π, √2 o la raíz cuadrada de cualquier número que no sea cuadrado perfecto.

Los números reales son todos los racionales y los irracionales juntos, y cada punto de la recta numérica corresponde a un número real. Cada conjunto contiene al anterior: los naturales están dentro de los enteros, estos dentro de los racionales, y estos dentro de los reales.

Truco clave: para clasificar un número, pregúntate de menor a mayor conjunto: ¿es natural?, ¿es entero?, ¿se puede escribir como fracción? Si no, es irracional. Simplifica antes de decidir: √9 = 3 es natural, pero √10 es irracional.

Aproximar un número es sustituirlo por otro cercano con menos cifras. En el redondeo miras la cifra siguiente a la que conservas: si es 5 o más, sube una unidad la última cifra; si es menor que 5, la dejas igual. Al truncar, simplemente cortas las cifras sobrantes sin mirar su valor.

El error absoluto es la diferencia, sin signo, entre el valor real y la aproximación.

El error relativo es el error absoluto dividido entre el valor real. Suele expresarse como fracción o en porcentaje, multiplicándolo por 100.

Truco clave: el error relativo sirve para comparar medidas de distinto tamaño. Equivocarte en 1 centímetro al medir un lápiz es mucho más grave que al medir una calle.