10. Geometría del espacio. Poliedros

En el espacio, tres puntos que no están en línea recta determinan un plano. Dos planos distintos pueden ser paralelos, si no se cortan, o secantes, si se cortan en una recta.

Dos rectas en el espacio pueden ser paralelas, secantes, si se cortan en un punto, o cruzarse, si no son paralelas y tampoco se cortan. Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por su pie.

Un ángulo diedro es el ángulo entre dos planos que se cortan, y se mide con el ángulo entre dos rectas, una de cada plano, perpendiculares a la recta de corte. En un cubo, el ángulo diedro entre dos caras contiguas es de 90°.

Truco clave: para imaginarte una posición relativa, piensa en el aula: el suelo y el techo son paralelos, y las paredes contiguas se cortan en una esquina.

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras que son polígonos. Las caras se unen en aristas y las aristas se juntan en vértices.

Un poliedro es convexo si el segmento que une dos puntos cualesquiera de su interior queda dentro de él. Se cumple la fórmula de Euler: caras más vértices es igual a aristas más 2, es decir, C + V = A + 2.

Los poliedros regulares tienen todas sus caras iguales y regulares y en cada vértice se juntan el mismo número de caras. Solo hay cinco: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Truco clave: usa Euler para comprobar tus conteos. En un cubo, 6 + 8 = 12 + 2.

Un prisma es un poliedro con dos caras iguales y paralelas, llamadas bases, y con caras laterales que son paralelogramos. El nombre del prisma depende de su base: triangular, cuadrangular, pentagonal…

Un prisma es recto si las aristas laterales son perpendiculares a las bases, y sus caras laterales son rectángulos. Si no, es oblicuo. Es regular si es recto y su base es un polígono regular.

Si la base tiene n lados, el prisma tiene n + 2 caras, 2n vértices y 3n aristas. Un paralelepípedo es un prisma cuyas caras son paralelogramos, y un ortoedro, uno cuyas caras son rectángulos.

Truco clave: las caras laterales son tantas como lados tiene la base, y se cumple Euler: (n + 2) + 2n = 3n + 2.

El área lateral de un prisma recto es el perímetro de la base por la altura. El área total es el área lateral más el área de las dos bases.

El volumen de un prisma es el área de la base por la altura: V = A base · h.

Para un ortoedro de aristas a, b y c, el volumen es a · b · c y el área total es 2 · (ab + ac + bc). Para un cubo de arista a, el volumen es a³ y el área total es 6a².

Truco clave: para el área, dibuja el desarrollo plano del prisma, es decir, sus caras extendidas, y suma las áreas de todos los trozos.

Una pirámide es un poliedro con una base, que es un polígono, y con caras laterales triangulares que se unen en un vértice llamado ápice o cúspide. Si la base tiene n lados, hay n caras laterales.

La altura de una pirámide es la distancia del vértice a la base. La apotema lateral es la altura de cada cara lateral triangular, en una pirámide regular.

En una pirámide regular, la altura h, la apotema de la base, que es la mitad del lado en una base cuadrada, y la apotema lateral forman un triángulo rectángulo: apotema lateral² = h² + (apotema de la base)².

Truco clave: la altura de la pirámide y la apotema lateral no son lo mismo. La altura va del vértice al centro de la base, y la apotema, del vértice al punto medio de un lado.

El área lateral de una pirámide regular es el perímetro de la base por la apotema lateral, entre 2. El área total es el área lateral más el área de la base.

El volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura: V = A base · h / 3. Es la tercera parte del volumen de un prisma con la misma base y altura.

Para una pirámide cuadrangular de lado a y apotema lateral ap, el área total es a² + 2 · a · ap.

Truco clave: en el desarrollo plano de la pirámide hay un polígono, la base, y tantos triángulos como lados. Sus alturas son la apotema lateral, no la altura de la pirámide.

Un tronco de pirámide es la parte que queda de una pirámide al cortarla con un plano paralelo a su base. Tiene dos bases paralelas, semejantes entre sí, y caras laterales que son trapecios.

El área lateral de un tronco de pirámide regular es la suma de los perímetros de las dos bases, multiplicada por la apotema y dividida entre 2.

El volumen de un tronco de pirámide es V = h/3 · (A1 + A2 + raíz de A1 · A2), donde A1 y A2 son las áreas de las dos bases y h la altura.

Truco clave: el área total es el área lateral más las áreas de las dos bases. No olvides sumar las dos.

Muchos objetos son la unión de varios poliedros, como una casa formada por un prisma y una pirámide. Para calcular su volumen se suman los volúmenes de las partes.

Si a un cuerpo se le quita una parte, como un agujero, se resta el volumen de lo que se quita.

En el área hay que tener cuidado: las caras que se pegan quedan dentro y no cuentan. Hay que restar las zonas de contacto y sumar solo las superficies visibles.

Truco clave: divide la figura en cuerpos conocidos, calcula cada uno y suma o resta. En el área, cuenta solo lo que se ve por fuera.