11. Cuerpos de revolución

Los cuerpos de revolución se obtienen al girar una figura plana alrededor de un eje. Un cilindro se obtiene al girar un rectángulo, un cono al girar un triángulo rectángulo y un tronco de cono al girar un trapecio rectángulo.

Un cilindro tiene dos bases circulares iguales de radio r y una altura h. Un cono tiene una base circular de radio r, una altura h y una generatriz g, que es la longitud de la recta del borde de la base al vértice.

En un cono, el radio, la altura y la generatriz forman un triángulo rectángulo: g² = r² + h². Un tronco de cono tiene dos bases de radios R y r y una generatriz g, que cumple g² = h² + (R − r)².

Truco clave: la altura es la distancia entre las bases y es perpendicular a ellas; la generatriz es inclinada y siempre es mayor que la altura.

El área lateral de un cilindro es un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base y cuya altura es h: A lateral = 2πr · h.

El área total es el área lateral más el área de las dos bases: A total = 2πrh + 2πr² = 2πr · (h + r).

El volumen de un cilindro es el área de la base por la altura: V = πr² · h.

Truco clave: si te dan el diámetro, divídelo entre 2 para obtener el radio antes de calcular. Y en las respuestas puedes dejar π sin sustituir.

El área lateral de un cono es A lateral = π · r · g, donde g es la generatriz. El desarrollo del lateral es un sector circular de radio g.

El área total es el área lateral más el área de la base: A total = πrg + πr² = πr · (g + r).

El volumen de un cono es un tercio del volumen de un cilindro con la misma base y altura: V = πr² · h / 3.

Truco clave: si te dan la altura, halla primero la generatriz con Pitágoras: g = √(r² + h²). Y si te dan la generatriz, la altura es h = √(g² − r²).

Un tronco de cono es lo que queda de un cono al cortarlo con un plano paralelo a la base. Tiene dos bases circulares de radios R, la mayor, y r, la menor.

El área lateral del tronco de cono es A lateral = π · (R + r) · g. El área total es el área lateral más las áreas de las dos bases: π(R + r)g + πR² + πr².

El volumen del tronco de cono es V = πh / 3 · (R² + R·r + r²).

Truco clave: la generatriz del tronco sale de g² = h² + (R − r)². No olvides sumar las dos bases en el área total.

Una esfera es el cuerpo que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. Todos sus puntos están a la misma distancia, el radio r, de un punto fijo llamado centro.

El diámetro es el doble del radio. Un plano que pasa por el centro corta a la esfera en una circunferencia máxima, de radio igual al de la esfera.

Un plano que corta a la esfera a una distancia d del centro la corta en una circunferencia de radio menor, que cumple r² = R² − d², donde R es el radio de la esfera.

Truco clave: la sección más grande de una esfera es la que pasa por el centro. Y la distancia al centro, el radio de la esfera y el radio de la sección forman un triángulo rectángulo.

El área de una esfera de radio r es A = 4πr². Es cuatro veces el área de su círculo máximo.

El volumen de una esfera de radio r es V = 4/3 · πr³.

Por ejemplo, una esfera de radio 3 cm tiene área 4π · 9 = 36π cm² y volumen 4/3 · π · 27 = 36π cm³.

Truco clave: no confundas el cuadrado del radio, en el área, con el cubo, en el volumen. Si te dan el diámetro, divídelo entre 2 antes de calcular.

Muchos objetos son combinación de cuerpos de revolución: una cápsula es un cilindro con dos semiesferas, y un helado es un cono con una semiesfera encima.

Para calcular el volumen de un cuerpo compuesto se suman los volúmenes de las partes. La semiesfera es la mitad de una esfera, y dos semiesferas forman una esfera.

Para el área hay que sumar solo las superficies que se ven por fuera, y no las que quedan pegadas o tapadas.

Truco clave: dibuja el cuerpo, sepáralo en partes conocidas y anota qué superficies se ven. Así no se te olvida ninguna ni cuentas de más.

La Tierra se representa con una esfera que gira alrededor de un eje, el eje de rotación, que corta a la superficie en dos puntos: el polo norte y el polo sur.

El ecuador es la circunferencia máxima perpendicular al eje, y divide la Tierra en el hemisferio norte y el hemisferio sur. Los paralelos son circunferencias paralelas al ecuador, que son cada vez más pequeñas al acercarse a los polos.

Los meridianos son semicircunferencias que unen un polo con el otro. El meridiano de Greenwich es el meridiano de referencia, y divide la Tierra en el hemisferio este y el hemisferio oeste.

Truco clave: los paralelos nunca se cortan entre sí, y todos los meridianos se cortan en los polos.

La posición de un punto de la Tierra se da con dos coordenadas: la latitud y la longitud.

La latitud es el ángulo entre el punto y el ecuador, medido desde el centro de la Tierra. Va de 0° en el ecuador a 90° en los polos, y se indica con N si está en el hemisferio norte o con S si está en el sur.

La longitud es el ángulo entre el meridiano del punto y el meridiano de Greenwich. Va de 0° a 180°, y se indica con E si está al este o con O si está al oeste.

Truco clave: para hallar la diferencia de latitud o de longitud entre dos puntos, resta si están en el mismo lado, y suma si están en lados opuestos.