12. Funciones

Una función es una relación entre dos variables en la que a cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un único valor de la variable dependiente, y. Se escribe y = f(x).

Una función se puede dar de cuatro formas: con un enunciado, con una tabla de valores, con una fórmula y con una gráfica.

Para ser función, cada x debe tener un solo valor de y. Si una misma x aparece con dos valores distintos de y, no es una función.

Truco clave: para calcular f(a), sustituye x por a en la fórmula. Y para saber para qué x vale la función un valor dado, iguala la fórmula a ese valor y resuelve.

El dominio de una función es el conjunto de valores de x para los que está definida. El recorrido es el conjunto de valores de y que toma.

El punto de corte con el eje Y se calcula con x = 0: es el punto (0, f(0)). Solo puede haber uno.

Los puntos de corte con el eje X se calculan con y = 0, resolviendo la ecuación f(x) = 0. Sus soluciones se llaman ceros o raíces de la función. Puede haber varios, uno o ninguno.

Truco clave: para el eje Y, calcula f(0). Para el eje X, resuelve f(x) = 0.

Una función es continua si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Si hay saltos, huecos o separaciones, es discontinua.

Hay discontinuidades por salto, cuando los dos trozos no se unen; por hueco, cuando falta un punto; y por asíntota, cuando la función se dispara, como en y = 1/x en x = 0.

Una función definida a trozos usa fórmulas distintas en cada tramo. Para ver si es continua donde cambia de fórmula, se comprueba que las dos fórmulas dan el mismo valor en ese punto.

Truco clave: en los puntos de unión de una función a trozos, calcula los dos valores. Si coinciden, es continua; si no, hay un salto.

Una función es creciente en un intervalo si, al aumentar x, aumenta y: la gráfica sube. Es decreciente si, al aumentar x, disminuye y: la gráfica baja.

Un máximo es un punto más alto que los que tiene a su alrededor, y un mínimo es uno más bajo. Si es el más alto o el más bajo de toda la gráfica, es absoluto; si solo lo es en su entorno, es relativo.

En un máximo o un mínimo, la función cambia de creciente a decreciente, o al revés. En la parábola y = ax² + bx + c, esto ocurre en el vértice, en x = −b / (2a).

Truco clave: si a > 0 la parábola abre hacia arriba y el vértice es un mínimo. Si a < 0 abre hacia abajo y es un máximo.

Una función es par si su gráfica es simétrica respecto al eje Y, es decir, f(−x) = f(x). Por ejemplo, y = x² es par.

Una función es impar si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, f(−x) = −f(x). Por ejemplo, y = x³ es impar.

Una función es periódica de periodo T si su gráfica se repite cada T unidades: f(x + T) = f(x).

Truco clave: para calcular el valor de una función periódica en una x lejana, resta periodos hasta llegar a un valor que conozcas.

Muchas gráficas describen situaciones reales: la distancia recorrida en el tiempo, la temperatura a lo largo de un día o el precio según la cantidad. Para leerlas, hay que fijarse primero en qué representa cada eje y en qué unidades.

Un tramo horizontal indica que la variable no cambia, por ejemplo que alguien está parado. Un tramo que sube indica que aumenta, y uno que baja, que disminuye.

En una gráfica de distancia y tiempo, la velocidad de un tramo es lo que sube la distancia entre el tiempo que ha pasado: cuanto más empinado, más rápido.

Truco clave: lee siempre los ejes y las escalas, y trabaja con los valores de los puntos marcados.