13. Funciones lineales y cuadráticas

Una función constante tiene la forma y = k, donde k es un número fijo. Toma siempre el mismo valor, sea cual sea x.

Su gráfica es una recta horizontal que pasa por la altura k. Su pendiente es 0.

Solo corta al eje X si k = 0, y entonces coincide con el propio eje X. En cualquier otro caso, no lo corta nunca. Corta al eje Y en el punto (0, k).

Truco clave: en una función constante, la x no influye. Por ejemplo, una tarifa plana de 12 € al mes cuesta lo mismo en cualquier mes.

Una función de proporcionalidad directa tiene la forma y = mx, donde m es la constante de proporcionalidad, también llamada pendiente. Dos magnitudes son directamente proporcionales si su cociente y/x es siempre el mismo.

Su gráfica es una recta que pasa por el origen. Si m es positivo, la recta sube, y si es negativo, baja.

Para hallar m a partir de un punto (x, y) distinto del origen, se divide m = y / x. Por ejemplo, si pasa por (2, 10), entonces m = 10 / 2 = 5.

Truco clave: si al duplicar x, y también se duplica, es proporcionalidad directa y la recta pasa por el origen.

Una función lineal tiene la forma y = mx + n. Su gráfica es una recta. El número m es la pendiente y n es la ordenada en el origen.

La pendiente indica cuánto cambia y cuando x aumenta 1. Si m > 0, la función es creciente, y si m < 0, es decreciente. La ordenada en el origen n es el valor de y donde la recta corta al eje Y.

Para calcular la pendiente de la recta que pasa por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2), se usa m = (y2 − y1) / (x2 − x1).

Truco clave: para dibujar una recta basta con dos puntos. El punto (0, n) es el más cómodo, y con la pendiente encuentras otro: avanza 1 en x y sube m en y.

La ecuación explícita de una recta es y = mx + n. Si conoces la pendiente m y un punto (x0, y0), sustituye el punto para hallar n: n = y0 − m · x0.

La ecuación punto−pendiente es y − y0 = m · (x − x0), que se puede ordenar hasta dejar y = mx + n. La ecuación general es ax + by + c = 0, de la que se despeja y para ver la pendiente.

Dos rectas con la misma pendiente son paralelas. Para hallar el punto de corte de dos rectas, se igualan sus expresiones de y y se resuelve la ecuación que sale.

Truco clave: para ver si un punto pertenece a una recta, sustituye sus coordenadas en la ecuación y comprueba si se cumple la igualdad.

Una función cuadrática tiene la forma y = ax² + bx + c, con a distinto de 0. Su gráfica es una parábola.

Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y su vértice es un mínimo. Si a < 0, abre hacia abajo y el vértice es un máximo. La coordenada x del vértice es x = −b / (2a), y la y se calcula sustituyendo.

Corta al eje Y en el punto (0, c). Los cortes con el eje X se hallan resolviendo ax² + bx + c = 0, y puede haber dos, uno o ninguno. La parábola es simétrica respecto a la recta vertical que pasa por el vértice.

Truco clave: para dibujar una parábola, calcula el vértice, los cortes con los ejes y algún punto más, y úne los con una curva suave.

Las funciones lineales sirven para modelizar situaciones con un coste fijo y un coste que crece de forma constante, como los taxis, las tarifas o el salario por horas. En y = mx + n, n es el coste fijo y m el coste por unidad.

Para comparar dos opciones, se igualan las dos funciones y se resuelve. El valor de x obtenido es el punto en el que cuestan lo mismo.

Las funciones cuadráticas modelizan, por ejemplo, el lanzamiento de una pelota: la altura es h = −5t² + vt, y el vértice da la altura máxima y el instante en que se alcanza.

Truco clave: traduce el enunciado a una fórmula, define qué es x y qué es y, y comprueba que la solución tiene sentido en la situación.