15. Probabilidad

Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir con seguridad, aunque se conozcan todos los resultados posibles. Lanzar un dado o una moneda son ejemplos.

El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. Al lanzar un dado, es 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Un suceso es un conjunto de resultados del espacio muestral. Sacar un número par al lanzar un dado es el suceso 2, 4 y 6. El suceso seguro incluye todos los resultados y el suceso imposible no incluye ninguno.

Truco clave: antes de calcular nada, escribe el espacio muestral. Si hay dos pasos, como lanzar dos dados, los resultados posibles se multiplican.

La unión de dos sucesos A y B, que se lee A o B, está formada por los resultados que están en A, en B o en los dos.

La intersección de A y B, que se lee A y B, está formada por los resultados que están en A y en B a la vez.

El suceso contrario de A está formado por todos los resultados que no están en A. Dos sucesos son incompatibles si no tienen ningún resultado en común.

Truco clave: al contar la unión, no cuentes dos veces los resultados comunes: el número de resultados de A o B es el de A más el de B menos el de A y B.

La frecuencia absoluta de un suceso es el número de veces que ocurre al repetir un experimento. La frecuencia relativa es esa cantidad dividida entre el número de repeticiones.

Por ejemplo, si al lanzar una moneda 50 veces sale cara 28 veces, la frecuencia relativa de cara es 28/50 = 0,56.

La ley de los grandes números dice que, al repetir muchas veces un experimento, la frecuencia relativa de un suceso se acerca a su probabilidad.

Truco clave: con pocas repeticiones la frecuencia puede alejarse mucho de la probabilidad. La probabilidad es lo que se espera a largo plazo, no lo que ocurre en cada tanda.

Si todos los resultados de un experimento tienen la misma probabilidad, la regla de Laplace dice que la probabilidad de un suceso A es el número de casos favorables dividido entre el número de casos posibles.

Por ejemplo, la probabilidad de sacar un número par al lanzar un dado es 3/6 = 1/2, porque hay 3 casos favorables entre 6 posibles.

La probabilidad se puede escribir como fracción, como decimal o como porcentaje.

Truco clave: comprueba que todos los resultados son igual de probables antes de usar Laplace. Y cuenta bien los casos posibles, por ejemplo, 36 al lanzar dos dados.

La probabilidad de cualquier suceso está entre 0 y 1. El suceso imposible tiene probabilidad 0 y el suceso seguro tiene probabilidad 1.

La probabilidad del suceso contrario de A es 1 menos la probabilidad de A.

La probabilidad de la unión es P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B). Si A y B son incompatibles, P(A y B) = 0 y las probabilidades simplemente se suman.

Truco clave: si una probabilidad te sale mayor que 1 o negativa, hay un error. Y cuando pidan al menos uno, suele ser más fácil calcular el contrario, que no ocurra ninguno.

Un experimento compuesto está formado por varios experimentos simples seguidos. El diagrama de árbol ayuda a ver todos los caminos posibles y sus probabilidades.

Si los sucesos son independientes, como lanzar dos monedas o extraer con reemplazamiento, la probabilidad de que ocurran los dos es el producto de sus probabilidades.

Si se extrae sin reemplazamiento, la segunda probabilidad cambia porque ya no está lo que se sacó. En este caso se multiplica la probabilidad de la primera por la probabilidad de la segunda con la nueva composición.

Truco clave: en un árbol, se multiplican las probabilidades a lo largo de un camino y se suman las de los caminos distintos que dan el mismo resultado.