2. Potencias y raíces

Una potencia es una multiplicación repetida: en 2⁵, la base es 2 y el exponente 5 indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma. Así, 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Todo número distinto de 0 elevado a 0 vale 1.

Un exponente negativo invierte la potencia: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Con fracciones se invierte la fracción y se cambia el signo del exponente: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.

El signo depende del exponente: una base negativa con exponente par da un resultado positivo, y con exponente impar da uno negativo. Por ejemplo, (−2)⁴ = 16 y (−2)³ = −8. Ojo: −2⁴ no es lo mismo que (−2)⁴, porque en el primero el signo no está elevado.

Truco clave: un exponente negativo no hace negativo el número, lo invierte. Primero decide el signo del resultado y después calcula el valor.

Al multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes: 2³ · 2⁴ = 2⁷. Al dividirlas, se restan: 2⁷ ÷ 2⁵ = 2².

Al elevar una potencia a otro exponente, se multiplican los exponentes: (2³)² = 2⁶.

Al elevar un producto o un cociente a un exponente, se eleva cada factor: (2 · 3)² = 2² · 3² = 36.

Truco clave: antes de operar, intenta que todas las potencias tengan la misma base, por ejemplo 4 = 2², 8 = 2³ o 9 = 3². Y ten cuidado con los signos al restar exponentes negativos: 3 − (−1) = 4.

Un número está en notación científica cuando se escribe como a · 10ⁿ, donde el coeficiente a está entre 1 y 10 (puede ser 1, pero no 10) y el exponente n es un número entero. Se usa para escribir cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Para pasar un número a notación científica, mueve la coma hasta que quede una sola cifra entera distinta de cero. El exponente es el número de lugares que has movido la coma: positivo si la has movido hacia la izquierda, y negativo si la has movido hacia la derecha.

Ejemplos: 45000 = 4,5 · 10⁴, porque movemos la coma 4 lugares a la izquierda. 0,0006 = 6 · 10⁻⁴, porque movemos la coma 4 lugares a la derecha.

Truco clave: los números grandes tienen exponente positivo y los números pequeños, entre 0 y 1, tienen exponente negativo. Para volver al número normal, mueve la coma en sentido contrario.

Para multiplicar números en notación científica, se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de 10. Para dividir, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.

Para sumar o restar, primero hay que escribir los números con el mismo exponente, normalmente el mayor. Después se suman o se restan los coeficientes y se deja el mismo 10 elevado a ese exponente.

Si después de operar el coeficiente no está entre 1 y 10, se ajusta moviendo la coma y cambiando el exponente. Por ejemplo, 20 · 10³ = 2 · 10⁴.

Truco clave: revisa siempre el coeficiente final. Si sale 10 o más, o menor que 1, todavía no está en notación científica.

Un radical es una raíz: √a es el número que, multiplicado por sí mismo, da a, y ∛a es el número que, multiplicado tres veces por sí mismo, da a. Si el número bajo la raíz es una potencia perfecta, la raíz es exacta: √49 = 7 y ∛27 = 3.

Para simplificar un radical, descompón el número en factores y saca fuera de la raíz los que están elevados al índice. Por ejemplo, √12 = √(2² · 3) = 2√3.

Solo se pueden sumar o restar radicales semejantes, es decir, con la misma raíz y el mismo número dentro: 3√2 + 5√2 = 8√2. Para multiplicar radicales con el mismo índice, se multiplican los números de dentro: √2 · √8 = √16 = 4.

Truco clave: antes de sumar radicales, simplifícalos. A veces parecen distintos pero no lo son: √8 + √2 = 2√2 + √2 = 3√2.