3. Proporcionalidad. Problemas financieros

Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. El cociente entre ambas es siempre el mismo, y se llama constante de proporcionalidad.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar una por un número, la otra queda dividida por ese número. En este caso lo que se mantiene constante es su producto.

En la proporcionalidad directa se cumple a/b = c/d, que es la regla de tres directa. En la inversa se cumple a · b = c · d.

Truco clave: antes de calcular, pregúntate si cuando una magnitud sube la otra también sube, y es directa, o si baja, y es inversa. Más obreros, menos días: inversa. Más kilos, más precio: directa.

La reducción a la unidad consiste en calcular primero cuánto corresponde a una unidad y después multiplicar. Si 3 kg cuestan 6 euros, 1 kg cuesta 2 euros y 5 kg cuestan 10 euros.

La regla de tres directa se plantea con una igualdad de cocientes: si 3 kg cuestan 6 euros, entonces 5 kg cuestan x, con 3/6 = 5/x.

La regla de tres inversa se resuelve igualando productos: si 4 obreros tardan 6 días, 8 obreros tardan d días con 4 · 6 = 8 · d.

Truco clave: comprueba que el resultado tiene sentido. En una relación directa, si la cantidad aumenta, el resultado debe aumentar. En una inversa, debe disminuir.

Para repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a unos números, suma esos números, divide la cantidad entre esa suma para saber cuánto vale cada parte y multiplica por cada número.

Para repartir en partes inversamente proporcionales, se usan los inversos de los números. Se pasan a común denominador y se reparte en proporción a los numeradores. Repartir en partes inversas a 2 y 3 es repartir en proporción a 1/2 y 1/3, es decir, a 3 y 2.

En un reparto de beneficios entre socios, cada uno recibe en proporción a lo que aportó: el beneficio por euro es el beneficio total entre el capital total.

Truco clave: comprueba siempre que las partes sumen la cantidad que repartiste.

Hay proporcionalidad compuesta cuando una magnitud depende de varias a la vez, por ejemplo, el tiempo de una obra depende del número de obreros y de las horas diarias.

Se resuelve analizando cada magnitud por separado respecto a la incógnita: si es directa, multiplicas por la razón; si es inversa, por la razón invertida.

Un método muy cómodo es calcular el trabajo total con una unidad común, por ejemplo horas de obrero: obreros por días por horas al día. Después divides entre lo que se hace cada día.

Truco clave: ordena los datos en una tabla y decide, para cada columna, si es directa o inversa respecto a lo que buscas.

El x por ciento de una cantidad es la cantidad multiplicada por x/100. Por ejemplo, el 20 % de 150 es 0,20 · 150 = 30.

El índice de variación convierte un aumento o una disminución en una sola multiplicación. Un aumento del 10 % se multiplica por 1,10, y una disminución del 25 % se multiplica por 0,75.

En variaciones sucesivas se multiplican los índices. Subir un 30 % y bajar un 30 % no se compensa: 1,30 · 0,70 = 0,91, y queda el 91 % del valor inicial.

Para hallar el valor inicial, divide el valor final entre el índice de variación. Truco clave: nunca sumes ni restes porcentajes de distintos pasos, multiplica los índices.

En el interés simple, los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial: Interés = capital · rédito · tiempo, con el rédito en tanto por uno y el tiempo en años. El capital final es el capital más el interés.

En el interés compuesto, los intereses de cada año se suman al capital y producen nuevos intereses. El capital final es el capital inicial por (1 + rédito) elevado al número de años.

El interés total del compuesto es el capital final menos el capital inicial.

Truco clave: el interés compuesto siempre da más que el simple a partir del segundo año, porque gana intereses sobre los intereses.