4. Polinomios

Una expresión algebraica combina números y letras con operaciones. Un monomio es una expresión como 5x³: el coeficiente es 5, la parte literal es x³ y el grado es 3, que es la suma de los exponentes de las letras.

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Solo se pueden sumar o restar los semejantes: 3x² + 5x² = 8x².

Para multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes: 3x² · 4x³ = 12x⁵. Para dividirlos, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes: 10x⁵ ÷ 2x² = 5x³. Para elevar a una potencia, (2x²)³ = 8x⁶.

Truco clave: para sumar necesitas que sean semejantes, pero para multiplicar y dividir no.

Un polinomio es una suma de monomios de distinto grado, como P(x) = 2x³ − x² + 4x − 1. Su grado es el del monomio de mayor grado, el coeficiente principal es el de ese monomio y el término independiente es el que no lleva letra.

El valor numérico de P(x) en x = a es lo que sale al sustituir x por a y operar. Se escribe P(a).

Una raíz de un polinomio es un número a tal que P(a) = 0. Por ejemplo, 2 es raíz de x² − 5x + 6 porque 4 − 10 + 6 = 0.

Truco clave: para comprobar si un número es raíz, sustitúyelo. Si sale 0, lo es. Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros dividen al término independiente, así que empieza probando sus divisores.

Para sumar polinomios, se agrupan los términos semejantes y se suman sus coeficientes. Para restar, se cambia el signo de todos los términos del segundo polinomio y se suma.

Para multiplicar, se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo y después se agrupan los semejantes. El grado del producto es la suma de los grados.

Por ejemplo, (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.

Truco clave: ordena los polinomios de mayor a menor grado y deja un hueco, o un 0, donde falte un término. Y vigila los signos al quitar un paréntesis precedido de un menos.

El cuadrado de una suma es el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo: (a + b)² = a² + 2ab + b².

El cuadrado de una diferencia es igual, pero con el doble producto negativo: (a − b)² = a² − 2ab + b².

La suma por diferencia es la diferencia de cuadrados: (a + b)(a − b) = a² − b². Por ejemplo, (x + 5)(x − 5) = x² − 25.

Truco clave: (x + 3)² no es x² + 9. Falta el doble producto, 6x. Comprueba con un número: si x = 1, (1 + 3)² = 16 y 1 + 9 = 10, no coinciden.

Dividir dos polinomios es hallar un cociente y un resto que cumplan: dividendo = divisor · cociente + resto, donde el grado del resto es menor que el del divisor.

Se procede por pasos: divide el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor, multiplica ese resultado por todo el divisor, réstalo del dividendo y repite con lo que queda hasta que el grado del resto sea menor que el del divisor.

Si el dividendo no tiene algún término, escríbelo con coeficiente 0 para no equivocarte de columna. Por ejemplo, x² − 1 es x² + 0x − 1.

Truco clave: comprueba siempre multiplicando divisor por cociente y sumando el resto. Debe salir el dividendo.

La regla de Ruffini es un método rápido para dividir un polinomio entre x − a. Se escriben los coeficientes del dividendo, incluidos los ceros de los términos que faltan, y a la izquierda el número a.

Se baja el primer coeficiente. Después se multiplica por a, se suma al siguiente coeficiente y se repite. El último número obtenido es el resto, y los anteriores son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos que el dividendo.

Si el divisor es x + 3, que es x − (−3), el número de Ruffini es −3.

Truco clave: no olvides los ceros de los términos que faltan. Si el polinomio es x³ − 7x + 6, los coeficientes son 1, 0, −7 y 6.

El teorema del resto dice que el resto de dividir P(x) entre x − a es el valor numérico P(a). Si P(a) = 0, entonces x − a divide a P(x) y a es una raíz.

Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios de menor grado. Se buscan raíces con el teorema del resto y Ruffini, y se escribe P(x) = (x − a) · cociente.

Para x² + bx + c, busca dos números que multipliquen c y sumen b. Por ejemplo, x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Para una diferencia de cuadrados, x² − a² = (x − a)(x + a).

Truco clave: prueba como raíces los divisores del término independiente, tanto positivos como negativos, y repite con el cociente hasta factorizarlo del todo.