5. Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad con una incógnita (normalmente x). Resolverla es encontrar el valor de x que hace que la igualdad sea cierta.

En una ecuación de primer grado la x aparece sin potencias. Para resolverla: quita paréntesis, quita denominadores multiplicando por el m.c.m., agrupa las x en un lado y los números en el otro, y despeja.

Truco clave: lo que está sumando pasa restando, lo que multiplica pasa dividiendo. Siempre puedes comprobar la solución sustituyéndola en la ecuación.

Tienen la forma ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0. Se resuelven con la fórmula: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).

El número Δ = b² − 4ac se llama discriminante y te dice cuántas soluciones hay: si Δ > 0, dos soluciones; si Δ = 0, una solución doble; si Δ < 0, no hay solución real.

Antes de aplicar la fórmula, pasa todo a un lado para que quede igualado a 0.

Si falta el término en x (b = 0), como ax² + c = 0: despeja x² y haz la raíz. Ojo, salen dos soluciones con signo contrario, o ninguna si x² queda negativo.

Si falta el número (c = 0), como ax² + bx = 0: saca x factor común, x(ax + b) = 0. Una solución siempre es x = 0 y la otra sale de ax + b = 0.

Nunca dividas entre x para simplificar: perderías la solución x = 0.

Son de la forma ax⁴ + bx² + c = 0. Solo aparecen x⁴ y x², sin potencias impares.

Se hace un cambio de variable: llamamos t = x². Queda at² + bt + c = 0, que es de segundo grado.

Al final deshacemos el cambio: si t es positivo, x = ±√t; si t es negativo, ese valor no da solución. Puede haber hasta cuatro soluciones.

Si un producto vale 0, al menos uno de sus factores vale 0. Por eso, si tenemos (x − 2)(x + 5) = 0, entonces x = 2 o x = −5.

Para ecuaciones de grado mayor, intenta sacar factor común o reconocer identidades notables, como x² − 9 = (x + 3)(x − 3).

Cada factor de grado uno da una solución; cada factor de grado dos se resuelve con la fórmula.