6. Sistemas de ecuaciones

Una ecuación lineal con dos incógnitas, como x + y = 5, tiene infinitas soluciones: cada pareja de valores (x, y) que la cumple, por ejemplo (1, 4) o (3, 2). Si dibujas todas esas parejas en unos ejes, forman una recta.

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben cumplirse a la vez. La solución del sistema es la pareja (x, y) que cumple todas sus ecuaciones.

Para resolverlo gráficamente despeja y en cada ecuación, haz una tabla de valores para cada una, dibuja las dos rectas y busca el punto donde se cortan. Las coordenadas de ese punto son la solución.

Truco clave: comprueba siempre la solución sustituyendo x e y en las dos ecuaciones. Si falla en una, no es solución del sistema.

Dos rectas en el plano pueden cortarse en un punto, no cortarse nunca o ser la misma recta. Por eso un sistema de dos ecuaciones lineales tiene una solución, ninguna o infinitas.

Si las rectas se cortan en un punto, el sistema es compatible determinado y tiene una única solución. Si las dos ecuaciones son la misma recta, es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Si las rectas son paralelas, es incompatible y no tiene solución.

Para saberlo sin dibujar, divide los coeficientes de x de las dos ecuaciones, después los de y, y después los términos independientes. Si el cociente de x y el de y son distintos, hay una solución. Si los tres cocientes son iguales, hay infinitas. Si coinciden los de x y de y pero el de los términos independientes es distinto, no hay solución.

Truco clave: si al multiplicar una ecuación por un número obtienes exactamente la otra, son la misma recta. Si solo coinciden los coeficientes de x y de y, pero no el término independiente, son paralelas.

Método de sustitución: despeja una incógnita en una de las ecuaciones, sustituye esa expresión en la otra ecuación, resuelve la ecuación de una sola incógnita y, con ese valor, calcula la otra.

Método de igualación: despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones, iguala las dos expresiones, resuelve la ecuación que sale y sustituye el valor para calcular la otra incógnita.

La sustitución es cómoda cuando alguna incógnita tiene coeficiente 1 o −1. La igualación es cómoda cuando las dos ecuaciones ya vienen con la misma incógnita despejada.

Truco clave: al sustituir, pon la expresión entre paréntesis. Olvidarlos con signos negativos es el error más habitual. Y comprueba siempre el resultado en las dos ecuaciones.

El método de reducción consiste en sumar o restar las dos ecuaciones para que desaparezca una de las incógnitas, y quedarte con una ecuación de primer grado.

Si los coeficientes de una incógnita son iguales u opuestos, puedes sumar o restar directamente. Si no lo son, multiplica una de las ecuaciones, o las dos, por números adecuados para igualar esos coeficientes.

Pasos: elige la incógnita que vas a eliminar, multiplica las ecuaciones si hace falta, suma o resta, resuelve la ecuación resultante, sustituye para hallar la otra incógnita y comprueba.

Truco clave: si los coeficientes que quieres eliminar tienen el mismo signo, restas las ecuaciones. Si tienen signos opuestos, las sumas.