7. Sucesiones

Una sucesión es una lista ordenada de números llamados términos. El primer término es el del lugar 1, el segundo el del lugar 2, y así sucesivamente.

El término general es una fórmula que permite calcular el término de cualquier lugar n. Por ejemplo, si el término general es 3n + 2, el del lugar 5 es 3 · 5 + 2 = 17.

También se puede definir una sucesión por recurrencia, indicando cómo se obtiene cada término a partir de los anteriores. En la sucesión de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8…, cada término es la suma de los dos anteriores.

Truco clave: para encontrar el término general, mira cuánto crece cada paso y comprueba tu fórmula con los primeros términos.

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia, d. Si d es positiva, los términos crecen, y si es negativa, decrecen.

El término general es el primer término más (n − 1) veces la diferencia. En símbolos, an = a1 + (n − 1) · d. Por ejemplo, en 2, 5, 8, …, el término del lugar 10 es 2 + 9 · 3 = 29.

Para calcular la diferencia a partir de dos términos, se divide la diferencia entre ellos entre el número de saltos que los separan.

Truco clave: entre el lugar p y el lugar q hay q − p saltos, no q − p + 1. Es un error muy habitual al contar.

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón, r. Si r es mayor que 1, los términos crecen muy rápido, y si r está entre 0 y 1, decrecen.

El término general es el primer término por la razón elevada a n − 1. En símbolos, an = a1 · r elevado a (n − 1). Por ejemplo, en 3, 6, 12, …, el término del lugar 5 es 3 · 2⁴ = 48.

Si la razón es negativa, los términos alternan de signo.

Truco clave: entre el lugar p y el lugar q, la razón elevada a q − p es el cociente entre los dos términos. Por eso, si hay 3 pasos, la razón al cubo es ese cociente.

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es la mitad del producto de n por la suma del primero y el último: S = (a1 + an) · n / 2. Gauss la descubrió de niño, para sumar los números del 1 al 100.

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r distinta de 1 es S = a1 · (r elevado a n − 1) / (r − 1).

Por ejemplo, 1 + 2 + 3 + … + 10 = (1 + 10) · 10 / 2 = 55, y 1 + 2 + 4 + 8 = (2⁴ − 1)/(2 − 1) = 15.

Truco clave: en la progresión aritmética, calcula primero el último término con el término general y después aplica la fórmula.