8. Geometría del plano. Movimientos

Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que cumplen una misma propiedad. Por ejemplo, la circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia, el radio, de un punto fijo llamado centro.

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de sus dos extremos. Es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de sus dos lados. Divide el ángulo en dos ángulos iguales.

Truco clave: si un punto está en la mediatriz de AB, entonces PA = PB. Y si está en la bisectriz de un ángulo, está a igual distancia de sus dos lados.

Dos ángulos son complementarios si suman 90° y suplementarios si suman 180°. Los ángulos consecutivos sobre una recta son suplementarios.

Cuando dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Si dos rectas paralelas se cortan con una secante, los ángulos correspondientes son iguales, y también lo son los alternos internos y los alternos externos.

En un triángulo, los ángulos interiores suman 180°. En un polígono de n lados suman (n − 2) · 180°. Truco clave: para hallar un ángulo desconocido, busca la relación que lo conecta con uno que ya conoces.

En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto, que es el más largo, se llama hipotenusa.

El teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² + b² = c². Por ejemplo, con catetos 3 y 4, c² = 9 + 16 = 25, y c = 5.

Sirve para hallar un lado desconocido. La hipotenusa es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos, y un cateto es la raíz de la hipotenusa al cuadrado menos el otro cateto al cuadrado. También permite calcular diagonales, alturas y distancias entre puntos.

Truco clave: la hipotenusa es siempre el lado más largo. Y si los tres lados de un triángulo cumplen a² + b² = c², el triángulo es rectángulo.

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados. El área mide la superficie que encierra.

El área de un rectángulo es base por altura. La de un triángulo es base por altura entre 2. La de un paralelogramo es base por altura. La de un rombo es diagonal mayor por diagonal menor entre 2.

El área de un trapecio es la suma de sus bases entre 2, por la altura. El área de un polígono regular es el perímetro por la apotema entre 2, donde la apotema es la distancia del centro al punto medio de un lado.

Truco clave: la altura es perpendicular a la base, no es un lado oblicuo. Para figuras compuestas, divídelas en figuras conocidas y suma o resta sus áreas.

La longitud de una circunferencia de radio r es 2πr. El área de un círculo de radio r es πr². El diámetro es el doble del radio.

Una corona circular es la región entre dos circunferencias concéntricas de radios R y r. Su área es πR² − πr².

Un sector circular de ángulo α grados tiene un área igual a la fracción α/360 del área del círculo, y su arco mide α/360 de la longitud de la circunferencia.

Truco clave: si te piden el resultado en función de π, deja π sin sustituir. Y ten cuidado con el diámetro: para pasar al radio hay que dividir entre 2.

Una traslación mueve todos los puntos de una figura la misma distancia, en la misma dirección y en el mismo sentido. Se define con un vector.

Un vector se escribe con sus componentes (a, b). El número a indica cuánto se desplaza en horizontal, hacia la derecha si es positivo, y b cuánto en vertical, hacia arriba si es positivo.

Para trasladar un punto P(x, y) con el vector (a, b) se suman las componentes: P′(x + a, y + b). La figura trasladada es igual que la original, solo cambia de lugar.

Truco clave: para hallar el vector de una traslación, resta a las coordenadas de la imagen las del punto original.

Un giro es un movimiento que hace girar una figura un cierto ángulo alrededor de un punto fijo llamado centro. Se define con el centro, el ángulo y el sentido.

Por convenio, el ángulo positivo gira en sentido contrario a las agujas del reloj, que es el sentido antihorario.

Con centro en el origen, el giro de 90° lleva P(x, y) a (−y, x). El de 180° lo lleva a (−x, −y). Y el de 270° lo lleva a (y, −x).

Truco clave: un giro de 360° deja todo igual, y un giro de −90° es lo mismo que uno de 270°. El giro conserva las distancias y los ángulos.

Una simetría axial refleja una figura respecto a una recta llamada eje de simetría. Cada punto y su imagen están a la misma distancia del eje, y el segmento que los une es perpendicular al eje.

En coordenadas, la simetría respecto al eje X lleva P(x, y) a (x, −y), y respecto al eje Y lo lleva a (−x, y). La simetría respecto a la recta y = x intercambia las coordenadas: P(x, y) pasa a (y, x).

Una simetría central tiene un centro. Cada punto y su imagen están a la misma distancia del centro y en lados opuestos. Respecto al origen, P(x, y) pasa a (−x, −y).

Un polígono regular de n lados tiene n ejes de simetría. Truco clave: para la simetría respecto a una recta vertical x = c, la coordenada y no cambia y la x pasa a 2c − x.