9. Triángulos. Propiedades

La mediana de un triángulo une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo.

El baricentro divide cada mediana en dos partes: la que va al vértice mide el doble que la que va al lado. Sus coordenadas son la media de las coordenadas de los tres vértices.

La mediatriz es la perpendicular a un lado por su punto medio, y las tres se cortan en el circuncentro, centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices. La bisectriz divide un ángulo en dos iguales, y las tres se cortan en el incentro, centro de la circunferencia inscrita. La altura es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto, y las tres se cortan en el ortocentro.

Truco clave: en un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa. En un triángulo equilátero, los cuatro puntos notables coinciden.

Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma, aunque distinto tamaño. Tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales.

La razón de semejanza k es el cociente entre dos lados homólogos, es decir, que se corresponden. Si k = 2, cada lado de un triángulo mide el doble que el homólogo del otro.

Criterios de semejanza: dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales, o los tres lados proporcionales, o un ángulo igual y los lados que lo forman proporcionales.

Si la razón de semejanza es k, los perímetros están en razón k y las áreas en razón k². Truco clave: al duplicar los lados, el área se multiplica por 4, no por 2.

El teorema de Tales dice que si se traza una paralela a un lado de un triángulo, los segmentos que determina en los otros dos lados son proporcionales.

En un triángulo ABC con DE paralela a BC, con D en AB y E en AC: AD/AB = AE/AC = DE/BC, y también AD/DB = AE/EC.

Otra versión: si tres o más rectas paralelas cortan a dos rectas, los segmentos que determinan en una son proporcionales a los que determinan en la otra.

Truco clave: los triángulos ADE y ABC son semejantes, así que puedes usar su razón de semejanza. Fíjate en qué segmentos comparas: parte con parte, o parte con todo, sin mezclarlos.

El teorema de Tales sirve para medir distancias que no se pueden medir directamente, como la altura de un árbol o la anchura de un río.

Altura con sombras: a la misma hora, los rayos del sol son paralelos y el objeto con su sombra forma un triángulo semejante al de otro objeto con la suya. Por tanto, altura entre sombra es igual para los dos.

También se puede usar un espejo en el suelo: la persona, el espejo y el objeto forman triángulos semejantes, porque los ángulos de incidencia y de reflexión son iguales.

Truco clave: dibuja siempre un esquema con los dos triángulos y escribe la proporción comparando lados homólogos.

La escala es la razón entre una medida en el dibujo y la medida real. Una escala 1:1000 significa que 1 cm en el mapa representa 1000 cm, es decir, 10 m en la realidad.

Para pasar de una medida del dibujo a la real, multiplica por el denominador de la escala. Para pasar de la real al dibujo, divide.

Las áreas se multiplican por el cuadrado de la escala: en 1:100, un cm² del plano representa 10 000 cm², que son 1 m².

Truco clave: convierte las unidades al final. Por ejemplo, 300 000 cm son 3 km, porque 100 000 cm es 1 km.